Классическая электронная теория проводимости друде-лоренца

Допущения

где Z — эффективное делокализованных электронов на ионных, для которого Друде использовал валентное число, A — атомное массовое число, ρ m {\ displaystyle \ rho _ {\ text {m}}}- тип вещества «Перв», а N A — это постоянная.

Средний объем, доступный на виде сферы:

VN = 1 n = 4 3 π rs 3. {\ displaystyle {\ frac {V} {N}} = {\ frac {1} {n}} = {\ frac {4} {3 }} \ pi r _ {\ rm {s}} ^ {3}.}

Величина rs {\ displaystyle r _ {\ text {s}}}- это параметр, который присутствует в электронной плотности и часто в 2 или 3 раза больше Радиус Бора, для щелочных металлов он колеблется от 3 до 6, некоторые соединения металлов могут доходить до 10.

Плотность порядка 100-кратного типичный классический газ. Несмотря на это, Друде применил кинетическую теорию разреженного газа, игнорируя электрон-электронное и электрон-ионное взаимодействие, помимо столкновений.

Модель Друде считает, что металл из набора положительно заряженных электронов, из которых были оторваны ряд «свободных электронов». Можно подумать, что это валентные электроны элементы, которые стали делокализованными из-за электрического поля других атомов.
Модель Друде не учитывает дальнодействующее взаимодействие между электроном и ионами или между электронами; это называется приближением независимых электронов.
Электроны движутся по прямым линиим между одним столкновением и другим; это называется приближением свободных электронов.
Единственное взаимодействие свободного электрона с окружающей средой рассматривает как столкновение с острым непроницаемым окруженным.
Среднее время между последующими столкновениями такого электрона равно τ с незапоминаемым распределением Пуассона. Природа партнера по столкновению электрона не имеет значения для расчетов и выводов модели Друде.
После столкновения распределения скорости и направления электрона определяется только локальная температура электрона и не зависит от скорости электрона до столкновения. Считается, что электрон сразу же находится в равновесии с температурой после столкновения.

Удаление или улучшение из этих предположений дает более совершенные модели, которые могут более точно определять твердые тела:

Улучшение гипотезы Статистика Максвелла — Больцмана со статистикой Ферми — Дирака приводит к модели Друде — Зоммерфельда.
Улучшение гипотезы статистики Максвелла — Больцмана с помощью Бозе– Статистика Эйнштейна приводит к размышлениям об удельной теплоемкости элементов с целым спином и к конденсату Бозе -нштейна.
Электрон валентной зоны в полупроводнике по-прежнему остается свободным электроном в ограниченном диапазоне энергий (т.е. «редкое» столкновение при высоких энергиях, подразумевает изменение полосы, ведет себя иначе); Приближение независимых электронов, по сути, все еще в силе (отсутствие электрон-электронного письма), это гипотеза о локализации рассеяния опровергается (с точки зрения непрофессионала, электрон есть и разбрасывается повсюду).

Цитаты

^ Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 6–7
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр 2-3
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 3 стр. Примечание 4 и рис. 1.1
^Ashcroft Mermin 1976, стр. 3 стр. Примечание 7 и рис. 1.2
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 3 примечание 6
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 8 таблица 1.2
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр 5 таблица 1.1
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 15 таблица 1.4
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 4
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр 2
^Эшкрофт и Мермин 1976, pp. 4
^ Ashcroft Mermin 1976, pp. 2–6
^ Ashcroft Mermin 1976, p. 11
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 16
^ Эшкрофт и Мермин 1976, pp. 17
^Ashcroft Mermin 1976, pp. 18 table 1.5
^Ashcroft Mermin 1976, pp. 18 table 1.6
^Ashcroft Mermin 1976, pp. 25 prob 1
^ Ashcroft Mermin 1976, pp. 25
^Ashcroft Mermin 1976, pp. 24
^Ashcroft Mermin 1976, p. 23

литература

Хорст-Рюдигер Ярк, Гюнтер Шеель (ред.): Braunschweigisches Biographisches Lexikon. 19 и 20 века . Ганновер 1996, стр. 147f
Макс Планк: Пол Друде . Памятная речь на собрании Немецкого физического общества 30 ноября 1906 г. В: Переговоры Немецкого физического общества , том VIII, № 23, 599–639 (1906).
Ф. Кибиц: Поль Друде . В: Naturwissenschaftl. Rundschau , 21 (32), 1906, стр. 413-415.
Гельмут Рехенберг, Джеральд Вимерс: Пол Друде (1863–1906) — «Икар» физики на рубеже 20-го века . В: Naturwissenschaftl. Rundschau , 59 (12), 2006, стр. 651-653,
Фридрих Штир: В: Новая немецкая биография (NDB). Volume 4, Duncker & Humblot, Berlin 1959, ISBN 3-428-00185-0 , p. 138 f. ( ).

Материалы высокой проводимости

Электропроводность у щелочных металлов расположена на крайне высоком уровне, потому что у них электроны практические не привязаны к ядру, их можно легко выстроить в необходимую последовательность. Однако данная группа отличается тем, у них небольшая температура плавления, но большая химическая активность. В большинстве своем данные свойства не дают использовать эти металлы для того, чтобы изготовить провода.

В зависимости от области применения металлов изоляционные материалы могут быть жидкими, твердыми, газообразными. Однако главная их функция все же одна — изолировать электрический ток в цепи так, чтобы он не смог оказать никакого воздействия на окружающую среду.

Электропроводность металлов используют почти во всех областях в современной человеческой жизни, поэтому безопасность человека считается самой главной задачей.

жизнь и работа

Пол Друде был сыном доктора Брансуика Карла Друде и сводным братом ботаника Оскара Друде . Сначала он изучал математику в Геттингене , Фрайбурге-им-Брайсгау и Берлине , но затем переключился на физику под влиянием Вольдемара Фойгта . Друде написал диссертацию вместе с Фойгтом в 1887 году под названием « Об отражении и преломлении света на границе поглощающих кристаллов» . 1890 г. — хабилитация самого Друде, в 1894 г. он стал адъюнкт-профессором в Лейпциге ; в том же году он женился на Эмили Регельсбергер, дочери геттингенского юриста

В 1900 году он стал редактором Annalen der Physik , самого важного физического журнала того времени. С 1900 по 1905 год он был профессором физики Гиссенского университета , а в 1905 году был назначен директором Физического института Берлинского университета

Через неделю после поступления в Прусскую академию наук Друде застрелился по неизвестным причинам. У него остались жена и четверо детей.

Научная работа Друде началась с теоретических, а также экспериментальных исследований оптических свойств кристаллов и самой природы света. В то время как Вольдемар Фойгт все еще был полностью поглощен механистическими, основанными на эфире идеями о распространении света, Друде занимался новыми идеями Максвелла. электромагнитная теория . Во-первых, он обнаружил, что обе теории приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям , поэтому с чисто практической точки зрения не имеет значения, какая теория предпочтительнее. На этом этапе своей работы он написал свою первую книгу « Физика эфира на электромагнитной основе» (1894 г.). Но поскольку многие вопросы легче было исследовать с помощью электромагнитной теории, Друде постепенно превратилась в одного из своих последователей. Кроме того, он надеялся, что сможет использовать электромагнитную теорию для объяснения оптических и электрических свойств веществ вместе в результате взаимодействия электромагнитных полей с электрическими зарядами, содержащимися в веществах.

В Лейпциге Друде сравнил проводимость , поглощающую способность (по отношению к сантиметровым волнам ) и диэлектрические свойства многочисленных растворов в обширной серии испытаний ; во многих случаях он обнаружил гораздо более высокую поглощающую способность, чем можно было бы ожидать, исходя из проводимости. Он смог определить причину избирательного поглощения группами ОН ( гидроксильными группами ) в молекулах, содержащихся в растворе, — с этим он открыл спектроскопический метод обнаружения групп ОН. В 1900 году он опубликовал свою вторую книгу « Учебник оптики» , которая появилась в английском переводе всего два года спустя.

В Гиссене Друде разработал теорию электронов в металлах (см. Теорию Друде ), которую он смоделировал как «электронный газ», используя термины из классической термодинамики ; эта работа велась параллельно с аналогичными усилиями со стороны Лоренца , Томсона и Рикеса . Изучая электрическую и теплопроводность с помощью этой теории, он обнаружил, что при заданной температуре соотношение электрической и теплопроводности должно быть одинаковым для всех металлов. Это предсказание приблизительно, если не точно, совпало с экспериментальными результатами. Другие подобные частичные успехи показали, что теория правильно охватила по крайней мере некоторые аспекты электричества , что в конечном итоге проложило путь современной теории электрона.

Его измерения с поляризованным светом внесли большой вклад в развитие этой теории, поэтому сейчас он широко известен как изобретатель эллипсометрии .

В 1905 году Друде был назначен профессором и директором физического института Университета Фридриха Вильгельма. В том же году (27 апреля) он был предложен членом Прусской академии наук. Он произнес здесь свою инаугурационную речь 28 июня 1906 года (за 7 дней до своей самоубийственной смерти).

Иногда высказывается предположение, что эта речь содержит ключи к разгадке проблем, которые могли привести его к самоубийству. В любом случае он сетует на то, насколько беспокойными стали естественные науки во время бума на рубеже веков:

— Пол Друде

Сопротивление и проводимость в металлах

Сопротивление и проводимость являются основными характеристиками электрического тока в металлах. Сопротивление представляет собой меру противодействия металла прохождению электрического тока. Оно зависит от множества факторов, включая температуру, состав металла и его механические свойства.

Проводимость, в свою очередь, является обратной величиной к сопротивлению и показывает способность металла пропускать электрический ток. Чем выше проводимость, тем меньше сопротивление и, следовательно, тем лучше металл проводит электричество.

Сопротивление металлов обусловлено наличием свободных электронов, которые движутся между атомами металлической решетки. Эти свободные электроны несут электрический ток, при этом сталкиваясь с другими свободными электронами и ионами в металле. Степень столкновений электронов определяет сопротивление металла.

При низких температурах сопротивление металлов обычно мало из-за ограниченного количества столкновений электронов. Однако с увеличением температуры наличие теплового движения приводит к увеличению количества столкновений и, следовательно, увеличению сопротивления.

Проводимость металлов также зависит от частоты и направления электрического тока. В некоторых металлах проводимость может быть различной для разных направлений тока. Это явление известно как анизотропия проводимости и связано с особыми свойствами кристаллической решетки металла.

В целом, проводимость металлов играет важную роль в различных электрических приборах и технологиях. Понимание основных факторов, влияющих на сопротивление и проводимость, позволяет эффективно использовать металлы в различных сферах, включая электротехнику, электронику и энергетику.

Предварительные предположения

Модель основана на следующих предположениях :

Система уподобляется набору из n заряженных электронов — e в единице объема, помещенных в среду точечных частиц массы m без взаимодействия между ними.
Мы можем классически описывать электроны.
Электроны подвергаются столкновениям. Вероятность столкновения между t и t + d t определяется выражением , где τ — среднее время между двумя последовательными столкновениями, также называемое временем релаксации.dтτ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ tau}}}

Коллизии , к которой электроны подвергаются были в глазах столкновениях Друда с ядрами атомов в кристаллической решетке . На самом деле это так называемые столкновения электронов с фононами .

Наличие столкновений приводит к прочности от трения вязкой формы , где р представляет собой импульс электрона.
-пτ{\ displaystyle — {\ frac {\ mathbf {p}} {\ tau}}}

Затем, применяя закон Ома, мы имеем

jзнак равноσE{\ Displaystyle \ mathbf {j} = \ sigma \ mathbf {E}},

выражение проводимости:

σзнак равнонете2τм{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {ne ^ {2} \ tau} {m}}}.

Точность модели

Исторически формула Друде была впервые выведена ограниченным образом, а именно, предполагая, что носители заряда образуют классический идеальный газ. Арнольд Зоммерфельд рассмотрел квантовую теорию и распространил ее на модель свободных электронов, где носители следуют распределению Ферми-Дирака. Прогнозируемая проводимость такая же, как в модели Друде, поскольку она не зависит от формы электронного распределения скорости.

Модель Друде дает очень хорошее объяснение проводимости постоянного и переменного тока в металлах, эффекта Холла и магнитосопротивления в металлах при температуре около комнатной. Модель также частично объясняет закон Видемана – Франца 1853 года. Однако она сильно переоценивает электронную теплоемкость металлов. На самом деле металлы и изоляторы имеют примерно одинаковую теплоемкость при комнатной температуре.

Модель также может быть применена к положительным (дырочным) носителям заряда.

В своей первоначальной статье Друде допустил ошибку, оценив число Лоренца закона Видемана-Франца как вдвое большее, чем должно было быть в классическом смысле, таким образом, казалось, что оно согласуется с экспериментальными данными. значение удельной теплоемкости примерно в 100 раз меньше, чем классический прогноз, но этот фактор сводится на нет со средней скоростью электронов, которая примерно в 100 раз больше, чем расчет Друде.

Ограничения классической электронной теории проводимости

Классическая электронная теория проводимости, представленная Друде и Лоренцем, имеет свои ограничения и не может полностью объяснить все наблюдаемые явления в проводящих материалах. Вот некоторые из этих ограничений:

Противоречия с экспериментальными результатами

Несмотря на то, что теория Друде-Лоренца успешно объясняет множество явлений, она не может объяснить некоторые наблюдаемые эффекты. Например, она не может объяснить, почему электроны в некоторых материалах могут двигаться без сопротивления, образуя так называемые сверхпроводящие состояния. Также теория не учитывает квантовые эффекты, такие как квантовые точки и квантовые ямы, которые играют важную роль в наноструктурах и полупроводниках.

Квантовые эффекты

Классическая электронная теория проводимости основана на предположении о свободных электронах, движущихся в металле. Однако в реальности электроны подчиняются квантовым законам и обладают волновыми свойствами. Классическая теория не учитывает эти квантовые эффекты, такие как квантовая интерференция и квантовое туннелирование, которые играют важную роль в наноструктурах и низкоразмерных материалах.

Необходимость разработки квантово-механической модели проводимости

В свете ограничений классической электронной теории проводимости, возникает необходимость разработки более точной квантово-механической модели. Такая модель должна учитывать квантовые эффекты и волновые свойства электронов. Квантово-механическая модель проводимости позволит более точно описывать поведение электронов в проводящих материалах и предсказывать новые явления, которые не могут быть объяснены классической теорией.

В целом, классическая электронная теория проводимости Друде-Лоренца является важным и полезным инструментом для объяснения многих явлений в проводящих материалах. Однако, для полного понимания проводимости и развития новых технологий, необходимо учитывать квантовые эффекты и разрабатывать более сложные модели проводимости, основанные на квантовой механике.

Проводимость постоянного тока

Считается, что электроны равномерно ускоряются электрическим полем E в течение промежутка времени между двумя столкновениями. По истечении этого времени после столкновения они статистически релаксируют до своего исходного кинетического состояния.

Следовательно, в любой момент каждый электрон i- го электрона имеет скорость v _i, которая записывается

vязнак равноvя+(-еEтяме){\ displaystyle v_ {i} = v_ {0i} + \ left ({{- e \ mathrm {E} t_ {i}} \ over m _ {\ mathrm {e}}} \ right)}

где v _{0 i} > — начальная скорость электрона i в конце последнего удара, а t _i — время, прошедшее с момента этого удара . Средняя скорость (в смысле общего среднего), которая описывает электроны, равна:

⟨v⟩sтвтзнак равно⟨vя⟩sтвтзнак равно⟨vя⟩sтвт+⟨-еEтяме⟩sтвт{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {0i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} + \ left \ langle {{-e \ mathrm {E} t_ {i}} \ over m _ {\ mathrm {e}}} \ right \ rangle _ {\ mathrm {stat}}}

Поскольку (гипотеза совершенно случайных толчков с результирующими конечными скоростями, распределенными вокруг нулевого среднего) и (эргодическая гипотеза), мы получаем формулу
⟨vя⟩sтвтзнак равно{\ Displaystyle \ langle v_ {0i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = 0}⟨тя⟩sтвтзнак равноτ{\ displaystyle \ langle t_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ tau}

⟨v⟩sтвтзнак равно⟨vя⟩sтвтзнак равно-еEτме{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = {{- e \ mathrm {E} \ tau} \ over m_ { \ mathrm {e}}}}.

Выводим выражение для плотности тока электропроводности

jзнак равно(-нете)⟨v⟩sтвтзнак равнонете2Eτме{\ displaystyle j = (- ne) \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = {{ne ^ {2} \ mathrm {E} \ tau} \ over m _ {\ mathrm {e}}} }

и проводимости

σзнак равнонете2τме{\ displaystyle \ sigma _ {0} = {{ne ^ {2} \ tau} \ над м _ {\ mathrm {e}}}}.

Мы можем показать плазменную частоту , написав:
ωп{\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {p}}}

σзнак равно(τ⋅ε)ωп2{\ Displaystyle \ sigma _ {0} = (\ тау \ cdot \ varepsilon _ {0}) \ omega _ {\ mathrm {p}} ^ {2}}

Как отличается электропроводность разных металлов

Электронная теория электропроводности металлов начала развиваться из-за исследований ученого Пауля Друде. Он смог открыть сопротивление как свойство. Сопротивление наблюдается тогда, когда электрический ток проходит через проводник.

В будущем эта теория помогла типизировать различные вещества по их уровню проводимости. Из результатов исследования можно с легкостью понять, какой металл подходит для того, чтобы изготовить тот или иной кабель. Это самый важный момент, потому что материал, который неправильно подобран, может быть причиной перегрева, возгорания и других последствий.

Электропроводность металлов можно узнать в таблице электропроводности.

Нужно отметить, что каждый сплав обладает меньшим уровнем проводимости, чем чистое вещество. Это может быть связано с тем, что структурная сетка сливается со всем остальным, происходит нарушение обычного электронного функционирования.

Электрокинетический подход

Заявление модели

Предположим, что электрическая проводимость осуществляется только электронами. Это носители заряда q = — e и массы m _e :

q = — e ≃ 1,602 × 10 −19 Кл (см. Элементарный заряд );
m _e 9,109 × 10 −31 кг .

Итак, с динамической точки зрения электрон подчиняется следующему закону:

меdv→dтзнак равноF→v-Γv→{\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {vb}} — \ Gamma {\ vec {vb}}}

или же

v — скорость электрона, выраженная в метрах в секунду ( м с -1 );
F _v — сила Лоренца, выраженная в ньютонах (Н), E — электрическое поле, а B — магнитное поле ;F→vзнак равноq(E→+v→∧B→){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {v}} = q ({\ vec {\ mathrm {E}}} + {\ vec {v}} \ wedge {\ vec { \ mathrm {B}}})}
Γ представляет собой эмпирический коэффициент трения выражается в килограммах в секунду ( кг с -1 ).

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка .

Обратите внимание, что это остается верным для других типов носителей заряда, таких как электронные дырки в кристалле или ионы в физиологическом растворе .

Постоянная времени и ограничение скорости

Предположим, что электрон имеет начальную скорость v , и что электрическое поле является однородным и постоянным, E . Итак, решение приведенного выше дифференциального уравнения приводит к:

v→(т)знак равноv→⋅е-тτ+(1-е-тτ)⋅qΓE→{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ vec {v}} _ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} + \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ right) \ cdot {\ frac {q} {\ Gamma}} {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}}

или же

τзнак равномеΓ{\ Displaystyle \ тау = {\ гидроразрыва {м _ {\ mathrm {e}}} {\ Gamma}}} — постоянная времени, характеристика демпфирования системы;
v→лзнак равноqΓE→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {l}} = {\ frac {q} {\ Gamma}} {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}} — предельная скорость, к которой стремится электрон.

Электронная проводимость

Мы можем связать коэффициент трения с объемной плотностью электронов N _e и электронной проводимостью σ :

Γзнак равноНЕТее2σ{\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {\ mathrm {N_ {e}} e ^ {2}} {\ sigma _ {0}}}}

Мы также можем вычислить постоянную времени:

τзнак равноσмеНЕТее2{\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ sigma _ {0} m _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {N_ {e}} e ^ {2}}}}

Величина

Для чистой меди (σ = 5,98 × 10 7 См · м −1 ) мы предполагаем, что у нас есть один электрон проводимости на атом, т.е. при плотности ρ _m = 8,96 · 10 3 кг · м −3 , молярная масса M = 63,5 г моль-1 и число Авогадро N _A = 6,02 × 10 23 моль -1 , имеем:

N _e = ρ _м N _A / M = 8,49 × 10 28 м −3

и другие

τ ≃ 2,499 9 × 10 −14 с

Случай синусоидального электрического поля

Если скорости медленные по сравнению со скоростью света (нерелятивистский случай), то влияние магнитного поля незначительно по сравнению с влиянием электрического поля. Итак, у нас есть:

F→v≃qE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {v}} \ simeq q {\ vec {\ mathrm {E}}}}

и динамическое уравнение становится:

меdv→dт+Γv→знак равноqE→{\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} + \ Gamma {\ vec {v}} = q {\ vec {\ mathrm {E}}}}.

Если электрическое поле синусоидальное

E→(т)знак равногрех⁡(ωт)E→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {E}}} (t) = \ sin (\ omega t) {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}}

то решение дифференциального уравнения сложным письмом записывается следующим образом:

v_→(т)знак равноqΓ+яωмеE→(т){\ displaystyle {\ vec {\ underline {v}}} (t) = {\ frac {q} {\ Gamma + i \ omega m _ {\ mathrm {e}}}} {\ vec {\ mathrm {E }}} (t)}.

Тогда у нас есть комплексная электропроводность, зависящая от (следовательно, от частоты ):

σ_(ω)знак равноσ11+яωτ{\ displaystyle {\ underline {\ sigma}} (\ omega) = \ sigma _ {0} {\ frac {1} {1 + я \ omega \ tau}}}

Проводимость переменного тока

Связь между диэлектрической проницаемостью и проводимостью

Для расчета проводимости в электромагнитном поле мы исходим из уравнений Максвелла , а именно

Закон	Математическое выражение
«Закон Кулона»	∇⋅Dзнак равноρ{\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathrm {D} = \ rho}
«Закон Ампера»	∇∧ЧАС-∂D∂тзнак равноJ{\ Displaystyle \ набла \ клин \ mathrm {H} — {{\ partial \ mathrm {D}} \ over {\ partial t}} = \ mathrm {J}}
«Закон Фарадея»	∇∧E+∂B∂тзнак равно{\ Displaystyle \ набла \ клин \ mathrm {E} + {{\ partial \ mathrm {B}} \ over {\ partial t}} = 0}
«Отсутствие магнитных монополей»	∇⋅Bзнак равно{\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathrm {B} = 0}

Из этих уравнений мы выводим связь между проводимостью σ и диэлектрической проницаемостью ε:

ε⋅(ω2против2)-k2знак равнояωμσ{\ displaystyle \ varepsilon \ cdot \ left ({\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) -k ^ {2} = я \ omega \ mu _ {0} \ sigma }

Расчет проводимости

Если мы описываем электронный газ его матрицей плотности ρ (P, Q), это проверяет уравнение эволюции:

dтρ(п,Q)пзнак равно{ЧАС,ρп}Q,п+Σ+-Σ-{\ displaystyle {d_ {t} \ rho (\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}) \ mathrm {P}} = \ {\ mathrm {H}, \ rho \ mathrm {P} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} + \ Sigma _ {+} — \ Sigma _ {-}}

где представляет собой скобку Пуассона и условия источника и разрушения. Предположим теперь, что гамильтониан H = H + H ₁ и что ρ = ρ + ρ ₁ , где H ₁ и ρ ₁ представляют пертурбативные члены. Затем исходное уравнение переписывается в виде:
{}п,Q{\ Displaystyle \ {\} _ {\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}}}Σ+,Σ- {\ Displaystyle \ Sigma _ {+}, \ Sigma _ {-} ~}

dтρ(п,Q)пαзнак равно{ЧАС,ρ1п}Q,п+{ЧАС1,ρпα}Q,п-ρ1пατ {\ displaystyle {d_ {t} \ rho (\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}) \ mathrm {P} _ {\ alpha}} = \ {\ mathrm {H} _ {0}, \ rho _ {1} \ mathrm {P} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} + \ {\ mathrm {H} _ {1}, \ rho _ {0} \ mathrm {P} _ { \ alpha} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} — {{\ rho _ {1} \ mathrm {P} _ {\ alpha}} \ over \ tau} ~}

Принимая во внимание независимость ρ P β от ρ 1 P β и H относительно Q α (однородность распределения зарядов и пространственная инвариантность невозмущенного гамильтониана), получается, что решение первого порядка возмущенного распределения написано:

(-яω+1τ)ρ1пαзнак равно(яkβИксα+δαβ)еEα(∂ρ∂пβ){\ displaystyle \ left (-i \ omega + {\ frac {1} {\ tau}} \ right) \ rho _ {1} \ mathrm {P} _ {\ alpha} = (ik _ {\ beta} x_ {\ alpha} + \ delta _ {\ alpha \ beta}) e \ mathrm {E} _ {\ alpha} \ left ({\ frac {\ partial \ rho _ {0}} {\ partial \ mathrm {P} _ {\ beta}}} \ right)}

Принимая длинноволновое приближение (и, следовательно, k малым), мы находим вид проводимости:

σзнак равноετωп2-яωτ+1{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ varepsilon _ {0} \ tau \ omega _ {\ mathrm {p}} ^ {2}} {- я \ omega \ tau +1}}}